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第3题

设三角形 ABCABC 中,顶点 AA 所对的旁切圆与边 BCBC 相切于点 A1A_1。类似地,用顶点 BB、CC 所对的旁切圆分别在 CACA、ABAB 上定义点 B1B_1、C1C_1。设三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 的外心落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明三角形 ABCABC 是直角三角形。
第 1/5 步：使用弧中点引理
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BC1=CB1,XC1=XB1,X=midpoint of the major arc BCBC_1=CB_1,\quad XC_1=XB_1,\quad X=\text{midpoint of the major arc }BC
详细分析

令圆 (AB1C1)(AB_1C_1) 与 Ω=(ABC)\Omega=(ABC) 的另一个交点为 XX。由旁切圆的切线长关系得 BC1=CB1BC_1=CB_1。因此以 XX 为中心把 △XBC1\triangle XBC_1 变为 △XCB1\triangle XCB_1 的螺旋相似实际上是全等变换，故 XC1=XB1XC_1=XB_1。于是 XX 是 Ω\Omega 上大弧 BCBC 的中点。对另外两个顶点类似定义 YY 和 ZZ；则 YY 和 ZZ 分别位于 A1C1A_1C_1 和 A1B1A_1B_1 的垂直平分线上。