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第3题

设三角形 ABCABC 中,顶点 AA 所对的旁切圆与边 BCBC 相切于点 A1A_1。类似地,用顶点 BB、CC 所对的旁切圆分别在 CACA、ABAB 上定义点 B1B_1、C1C_1。设三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 的外心落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明三角形 ABCABC 是直角三角形。
第 3/5 步：确定垂直平分线
上一步下一步
XY⊥A1C1,XZ⊥A1B1XY\perp A_1C_1,\quad XZ\perp A_1B_1
详细分析

因为 Q=XQ=X 是 A1B1C1A_1B_1C_1 的外心，过 XX 与弧中点的直线正是相应边的垂直平分线。因此 XY⊥A1C1XY\perp A_1C_1 且 XZ⊥A1B1XZ\perp A_1B_1。