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第3题

设三角形 ABCABC 中,顶点 AA 所对的旁切圆与边 BCBC 相切于点 A1A_1。类似地,用顶点 BB、CC 所对的旁切圆分别在 CACA、ABAB 上定义点 B1B_1、C1C_1。设三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 的外心落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明三角形 ABCABC 是直角三角形。
第 4/5 步：追踪关键角
上一步下一步
∠A=∠C1XB1=∠C1XA1+∠A1XB1=2∠YXA1+2∠A1XZ=2∠YXZ=180∘−∠A\angle A=\angle C_1XB_1=\angle C_1XA_1+\angle A_1XB_1=2\angle YXA_1+2\angle A_1XZ=2\angle YXZ=180^\circ-\angle A
详细分析

由弧中点关系和两条垂直平分线，得到有向角链 ∠A=∠C1XB1=∠C1XA1+∠A1XB1=2∠YXA1+2∠A1XZ=2∠YXZ=180∘−∠A\angle A=\angle C_1XB_1=\angle C_1XA_1+\angle A_1XB_1=2\angle YXA_1+2\angle A_1XZ=2\angle YXZ=180^\circ-\angle A。