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第4题

设 ABCABC 是垂心为 HH 的锐角三角形,WW 是边 BCBC 上严格位于 BB、CC 之间的一点。设 MM、NN 分别是从 BB、CC 所引垂线的垂足。设 ω1\omega_1 为三角形 BWNBWN 的外接圆,XX 为 ω1\omega_1 上使得 WXWX 是 ω1\omega_1 直径的点。类似地,设 ω2\omega_2 为三角形 CWMCWM 的外接圆,YY 为使得 WYWY 是 ω2\omega_2 直径的点。证明 X,YX, Y、HH 三点共线。
第 1/5 步：过四个与高有关的点的第三个圆
上一步下一步
ω3:=circle through B,C,N,M(∠BNC=∠BMC=90∘)\omega_3 := \text{circle through } B,C,N,M \quad (\angle BNC=\angle BMC=90^\circ)
详细分析

设 LL 为从 AA 所引垂线的垂足,ZZ 为 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 除 WW 外的另一交点。由 ∠BNC=∠BMC=90∘\angle BNC=\angle BMC=90^\circ 知 B,C,N,MB,C,N,M 共圆于某圆 ω3\omega_3。