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第4题

设 ABCABC 是垂心为 HH 的锐角三角形,WW 是边 BCBC 上严格位于 BB、CC 之间的一点。设 MM、NN 分别是从 BB、CC 所引垂线的垂足。设 ω1\omega_1 为三角形 BWNBWN 的外接圆,XX 为 ω1\omega_1 上使得 WXWX 是 ω1\omega_1 直径的点。类似地,设 ω2\omega_2 为三角形 CWMCWM 的外接圆,YY 为使得 WYWY 是 ω2\omega_2 直径的点。证明 X,YX, Y、HH 三点共线。
第 2/5 步：A 是三圆的根心
上一步下一步
A=BN∩CM=radical center of ω1,ω2,ω3  ⟹  A∈WZA = BN \cap CM = \text{radical center of } \omega_1,\omega_2,\omega_3 \implies A \in WZ
详细分析

直线 WZWZ 是 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的根轴;同样 BNBN 是 ω1\omega_1 与 ω3\omega_3 的根轴,CMCM 是 ω2\omega_2 与 ω3\omega_3 的根轴。因此 A=BN∩CMA=BN\cap CM 是三圆的根心,故 AA 也在直线 WZWZ 上。