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第4题

设 ABCABC 是垂心为 HH 的锐角三角形,WW 是边 BCBC 上严格位于 BB、CC 之间的一点。设 MM、NN 分别是从 BB、CC 所引垂线的垂足。设 ω1\omega_1 为三角形 BWNBWN 的外接圆,XX 为 ω1\omega_1 上使得 WXWX 是 ω1\omega_1 直径的点。类似地,设 ω2\omega_2 为三角形 CWMCWM 的外接圆,YY 为使得 WYWY 是 ω2\omega_2 直径的点。证明 X,YX, Y、HH 三点共线。
第 4/5 步：涉及 H 的幂的恒等式
上一步下一步
AL⋅AH=AB⋅AN=AW⋅AZAL\cdot AH = AB\cdot AN = AW\cdot AZ
详细分析

四边形 BLHNBLHN 内接于圆,因为 ∠BLH=∠BNH=90∘\angle BLH=\angle BNH=90^\circ 是两个互补的直角。计算 AA 关于 ω1\omega_1 及关于过 B,L,H,NB,L,H,N 的圆的幂,得 AL⋅AH=AB⋅AN=AW⋅AZAL\cdot AH=AB\cdot AN=AW\cdot AZ,其中最后一个等式是 AA 关于 ω1\omega_1 的幂,用到了前面已建立的根轴关系。