MathLabs

第4题

设 ABCABC 是垂心为 HH 的锐角三角形,WW 是边 BCBC 上严格位于 BB、CC 之间的一点。设 MM、NN 分别是从 BB、CC 所引垂线的垂足。设 ω1\omega_1 为三角形 BWNBWN 的外接圆,XX 为 ω1\omega_1 上使得 WXWX 是 ω1\omega_1 直径的点。类似地,设 ω2\omega_2 为三角形 CWMCWM 的外接圆,YY 为使得 WYWY 是 ω2\omega_2 直径的点。证明 X,YX, Y、HH 三点共线。
第 5/5 步：结论:H 在直线 XYZ 上
上一步下一步
△AHZ∼△AWL  ⟹  ∠HZA=90∘\triangle AHZ \sim \triangle AWL \implies \angle HZA = 90^\circ
详细分析

若 HH 在直线 AWAW 上,由等式 AL⋅AH=AW⋅AZAL\cdot AH=AW\cdot AZ 立即得 H=ZH=Z。否则,比例相等 AHAZ=AWAL\frac{AH}{AZ}=\frac{AW}{AL} 与 AA 处的公共角使三角形 AHZAHZ 与 AWLAWL 相似,从而 ∠HZA=∠WLA=90∘\angle HZA=\angle WLA=90^\circ;因此 HH 也在过 ZZ 垂直于 AZAZ 的直线上,而这正是直线 XYZXYZ,故 X,Y,HX,Y,H 三点共线。