第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 1/6 步：由两个不等式得到的初步估计

上一步下一步

f(1)\ge 1, \qquad f(nx)\ge n f(x) \text{ for } n\in\mathbb{Z}_{>0}

详细分析

在(i)中代入 $x=1,y=a$ 得 $f(1)f(a)\ge f(a)$ ,又 $f(a)=a>0$ ,故 $f(1)\ge1$ 。对 $n$ 用(ii)归纳,得对一切正整数 $n$ 及 $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ 有 $f(nx)\ge nf(x)$ ;特别地 $f(n)\ge nf(1)\ge n$ 。