第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 2/6 步：f 递增且下方受 x − 1 界定

上一步下一步

f(x) \ge x - 1 \text{ for } x \ge 1, \qquad f \text{ strictly increasing}

详细分析

在(i)中取 $x=m/n,y=n$ 得 $f(m/n)f(n)\ge f(m)$ ,故对一切 $q\in\mathbb{Q}_{>0}$ 有 $f(q)>0$ ;再由(ii)得 $f(x+y)\ge f(x)+f(y)>f(x)$ ,故 $f$ 严格递增。结合上一步的 $f(n)\ge n$ ,当 $x\ge1$ 时有 $f(x)\ge f(\lfloor x\rfloor)\ge\lfloor x\rfloor>x-1$ 。