第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 3/6 步：开 n 次方根得出 f(x) ≥ x

上一步下一步

f(x)^n \ge f(x^n) > x^n - 1 \implies f(x) \ge x \text{ for } x > 1

详细分析

对(i)归纳可得对一切正整数 $n$ 有 $f(x)^n\ge f(x^n)$ ;结合上一步得 $f(x)^n>x^n-1$ ,从而对一切 $n$ 有 $f(x)>\sqrt[n]{x^n-1}$ 。固定 $x>1$ 令 $n\to\infty$ (比较增长速度),得对一切有理数 $x>1$ 都有 $f(x)\ge x$ 。