第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 4/6 步：在 a 的幂处恰好取等号

a^n = f(a)^n \ge f(a^n) \ge a^n \implies f(a^n) = a^n

详细分析

由于 $a>1$ ,上一步给出 $f(a^n)\ge a^n$ ;另一方面(i)给出 $f(a)^n\ge f(a^n)$ ,即由 $f(a)=a$ 得 $a^n\ge f(a^n)$ 。这两个不等式迫使对一切正整数 $n$ 都有 $f(a^n)=a^n$ 。