第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 5/6 步：把任意 x 夹在 1 与 a^n − x 之间

上一步下一步

a^n = f(a^n) \ge f(x) + f(a^n - x) \ge x + (a^n - x - 1) = a^n - 1

详细分析

固定 $x>1$ ,取充分大的 $n$ 使 $a^n-x>1$ 。对 $x$ 与 $a^n-x$ 应用(ii),并用 $f(a^n)=a^n$ 以及前两步得到的下界 $f(y)\ge y$ (对 $x$ 与 $a^n-x$ 均成立,二者都大于 $1$ ),得 $a^n=f(a^n)\ge f(x)+f(a^n-x)\ge f(x)+(a^n-x)$ ,故 $f(x)\le x$ ;结合已证的 $f(x)\ge x$ ,得 $f(x)=x$ 。