第5题

设

\mathbb{Q}_{>0}

为所有正有理数组成的集合。设

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

是满足下列三个条件的函数:(i) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) 对一切

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) 存在有理数

a>1

使得

f(a)=a

。证明:对一切

x\in\mathbb{Q}_{>0}

都有

f(x)=x

。

第 6/6 步：从 x > 1 推广到所有正有理数

上一步下一步

n f(x) = f(n) f(x) \ge f(nx) \ge n f(x) \implies f(nx) = n f(x) \implies f(x) = x \text{ on } \mathbb{Q}_{>0}

详细分析

对一切 $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ 及 $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ ,由(i)及第一步得 $nf(x)=f(n)f(x)\ge f(nx)\ge nf(x)$ ,故 $f(nx)=nf(x)$ 。选取 $n$ 使 $nx>1$ ,由上一步得 $f(nx)=nx$ ,从而 $nf(x)=nx$ ,即 $f(x)=x$ 。因此对一切 $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ 都有 $f(x)=x$ 。