第1题

固定一个圆心为 $O$、半径为 $r$ 的圆。对 $i=1,\dots,k$，在圆上选取点 $A_i,B_i$ 使得 $\triangle OA_iB_i$ 为等边三角形，并令 $V=\{O,A_1,B_1,\dots,A_k,B_k\}$，这是一个由 $2k+1$ 个点组成的集合。除 $O$ 外的每个点到 $O$ 的距离都是 $r$，所以对这样的两点 $A_i,A_j$，我们可以取 $C=O$。对于点对 $(O,A_i)$，第三个顶点 $B_i$ 满足 $B_iO=B_iA_i$，因为 $\triangle OA_iB_i$ 是等边三角形。因此 $V$ 是平衡的，且当 $k=1,2,\dots$ 时 $|V|=2k+1$ 取遍所有 $\ge 3$ 的奇数。