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国际数学奥林匹克 · 2015年

试题

  1. 第1题我们称平面上一个由点组成的有限集合 SS 是平衡的，如果对于 SS 中任意两个不同的点 AA 和 BB，都存在 SS 中的一点 CC 使得 AC=BCAC=BC。我们称 SS 是无中心的，如果对于 SS 中任意三个不同的点 AA、BB、CC，SS 中都不存在满足 PA=PB=PCPA=PB=PC 的点 PP。 (a) 证明：对所有整数 n≥3n\ge3，都存在一个由 nn 个点组成的平衡集合。 (b) 求所有整数 n≥3n\ge3，使得存在一个由 nn 个点组成的平衡且无中心的集合。解法: 1
  2. 第2题求所有正整数三元组 (a,b,c)(a,b,c)，使得 ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b 这三个数都是 22 的幂（22 的幂是指形如 2n2^n 的整数，其中 nn 为非负整数）。解法: 1
  3. 第3题设 ABCABC 是一个满足 AB>ACAB>AC 的锐角三角形。设 Γ\Gamma 为其外接圆，HH 为其垂心，FF 为从 AA 出发的高的垂足。设 MM 为 BCBC 的中点。设 QQ 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 的点，设 KK 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ 的点。假设 AA、BB、CC、KK、QQ 这些点两两不同，并按此顺序位于 Γ\Gamma 上。证明三角形 KQHKQH 与三角形 FKMFKM 的外接圆彼此相切。解法: 1
  4. 第4题三角形 ABCABC 的外接圆为 Ω\Omega，外心为 OO。以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 与线段 BCBC 交于两点 DD 和 EE，使得 BB、DD、EE、CC 互不相同，且按此顺序位于直线 BCBC 上。设 FF 和 GG 为 Γ\Gamma 与 Ω\Omega 的交点，使得 AA、FF、BB、CC、GG 按此顺序位于 Ω\Omega 上。设 KK 为三角形 BDFBDF 的外接圆与线段 ABAB 的第二个交点，设 LL 为三角形 CGECGE 的外接圆与线段 ACAC 的第二个交点。假设直线 FKFK 与 GLGL 不同且交于点 XX。证明 XX 在直线 AOAO 上。解法: 1
  5. 第5题设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有满足方程 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)（对所有实数 xx 和 yy 成立）的函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}。解法: 1
  6. 第6题整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots 满足以下条件：(i) 对所有 j≥1j\ge1 有 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) 对所有 1≤k<ℓ1\le k<\ell 有 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。证明存在两个正整数 bb 和 NN，使得对所有满足 n>m≥Nn>m\ge N 的整数 mm 和 nn，都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2。解法: 1