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第1题

我们称平面上一个由点组成的有限集合 SS 是平衡的，如果对于 SS 中任意两个不同的点 AA 和 BB，都存在 SS 中的一点 CC 使得 AC=BCAC=BC。我们称 SS 是无中心的，如果对于 SS 中任意三个不同的点 AA、BB、CC，SS 中都不存在满足 PA=PB=PCPA=PB=PC 的点 PP。 (a) 证明：对所有整数 n≥3n\ge3，都存在一个由 nn 个点组成的平衡集合。 (b) 求所有整数 n≥3n\ge3，使得存在一个由 nn 个点组成的平衡且无中心的集合。
第 2/5 步：达到每一种偶数规模
上一步下一步
通俗地说

再引入一个共同顶点，就能把一个三角形像"铰链"一样接到已有结构上，而不破坏平衡性。

△OCD, △ODE equilateral⇒V∪{C,D,E} balanced\triangle OCD,\ \triangle ODE \text{ equilateral} \Rightarrow V\cup\{C,D,E\}\text{ balanced}
详细分析

取上一步得到的任意平衡集合 VV（可能 k=0k=0，即 V={O}V=\{O\}），再加上同一圆上另外三个点 C,D,EC,D,E，使得 △OCD\triangle OCD 与 △ODE\triangle ODE 都是等边三角形。和之前一样 OC=OD=OE=rOC=OD=OE=r，所以 OO 可以作为 {C,D,E}\{C,D,E\} 中任意一对，或它们与之前的辐条点之间任意一对的中介点，而 DD 可作为 (O,C)(O,C) 和 (O,E)(O,E) 这两对的中介点，CC（相应地 EE）则作为 (O,D)(O,D) 的中介点。把这三个点加入 VV 仍保持平衡，并使规模增加 33，所以 ∣V∪{C,D,E}∣=2k+4|V\cup\{C,D,E\}|=2k+4 取遍所有 ≥4\ge4 的偶数。结合奇数的情形，(a) 部分对所有 n≥3n\ge3 都得证。