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第1题

我们称平面上一个由点组成的有限集合 SS 是平衡的，如果对于 SS 中任意两个不同的点 AA 和 BB，都存在 SS 中的一点 CC 使得 AC=BCAC=BC。我们称 SS 是无中心的，如果对于 SS 中任意三个不同的点 AA、BB、CC，SS 中都不存在满足 PA=PB=PCPA=PB=PC 的点 PP。 (a) 证明：对所有整数 n≥3n\ge3，都存在一个由 nn 个点组成的平衡集合。 (b) 求所有整数 n≥3n\ge3，使得存在一个由 nn 个点组成的平衡且无中心的集合。
第 3/5 步：正 nn 边形是平衡的，且恰好在没有中心时是无中心的
上一步下一步
通俗地说

在正多边形中，当 nn 为奇数时，任意一边或对角线的垂直平分线总是经过另一个顶点。

2k≡i+j(modn)⇒AiAk=AjAk2k\equiv i+j \pmod n \Rightarrow A_iA_k=A_jA_k
详细分析

对奇数 nn，将正 nn 边形的顶点记为 A1,…,AnA_1,\dots,A_n。对任意 i≠ji\ne j，由于 gcd⁡(2,n)=1\gcd(2,n)=1，存在唯一的 k∈{1,…,n}k\in\{1,\dots,n\} 使得 2k≡i+j(modn)2k\equiv i+j\pmod n，此时 k−i≡j−k(modn)k-i\equiv j-k\pmod n 说明 AkA_k 位于 AiAjA_iA_j 的垂直平分线上，即 AiAk=AjAkA_iA_k=A_jA_k；因此正 nn 边形是平衡的。它也是无中心的：若存在 PP 对三个不同的顶点 A,B,CA,B,C 满足 PA=PB=PCPA=PB=PC，则 PP 必须是该多边形的外心，而外心不是顶点 A1,…,AnA_1,\dots,A_n 中的任何一个。