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第1题

我们称平面上一个由点组成的有限集合 SS 是平衡的，如果对于 SS 中任意两个不同的点 AA 和 BB，都存在 SS 中的一点 CC 使得 AC=BCAC=BC。我们称 SS 是无中心的，如果对于 SS 中任意三个不同的点 AA、BB、CC，SS 中都不存在满足 PA=PB=PCPA=PB=PC 的点 PP。 (a) 证明：对所有整数 n≥3n\ge3，都存在一个由 nn 个点组成的平衡集合。 (b) 求所有整数 n≥3n\ge3，使得存在一个由 nn 个点组成的平衡且无中心的集合。
第 4/5 步：nn 为偶数是不可能的：一个抽屉原理论证
上一步下一步
通俗地说

太多的点对必须共用太少的可能"见证"点，于是必有某点到另外三点等距。

(n2)=n(n−1)2 pairs,⌈n(n−1)/2n⌉=n2 for even n\binom n2 = \tfrac{n(n-1)}2 \text{ pairs},\quad \Big\lceil \tfrac{n(n-1)/2}{n}\Big\rceil=\tfrac n2 \text{ for even } n
详细分析

假设 VV 是平衡且无中心的，且 ∣V∣=n|V|=n 为偶数。对每一对无序点对 {A,B}⊂V\{A,B\}\subset V（共有 (n2)=n(n−1)2\binom n2=\frac{n(n-1)}2 对），固定一个见证点 C(A,B)∈VC(A,B)\in V，使得 C(A,B)A=C(A,B)BC(A,B)A=C(A,B)B。这 n(n−1)2\frac{n(n-1)}2 对被分配到 VV 的 nn 个点作为可能的见证点，因此由抽屉原理，存在某点 PP 至少见证 ⌈n(n−1)/2n⌉=⌈n−12⌉=n2\big\lceil\frac{n(n-1)/2}{n}\big\rceil=\big\lceil\frac{n-1}2\big\rceil=\frac n2 对（最后一个等式用到 nn 为偶数，从而 n−1n-1 为奇数）。