第2题

方程为 $2b-c=2^m$、$2c-b=2^n$ 和 $bc-2=2^p$。由于 $n\ge1$，第二个方程说明 $b$ 为偶数。若 $p=1$，则 $bc=4$；结合 $2\le b\le c$ 得 $(b,c)=(2,2)$。现设 $p>1$。由于 $bc=2^p+2\equiv2\pmod4$ 且 $b$ 为偶数，所以 $b\equiv2\pmod4$ 且 $c$ 为奇数。因此 $2b-c$ 为奇数，故 $m=0$ 且 $2b-c=1$，即 $c=2b-1$。代入 $2c-b=2^n$ 得 $3b=2^n+2$，从而 $3c=2^{n+1}+1$。此外，$bc-2=2^p$ 化为 $(2^{n-1}+1)(2^{n+1}+1)=9(2^{p-1}+1)$。这里 $p\ge n$；将此恒等式模 $2^{n-1}$ 化简得 $1\equiv9\pmod{2^{n-1}}$，所以 $n\le4$。在 $3b=2^n+2$ 中 $n=1$ 不可能，而 $n=3$ 会使 $b=(2^n+2)/3$ 不是整数。因此 $n=2$ 或 $4$，得到 $(b,c)=(2,3)$ 或 $(6,11)$。