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第2题

求所有正整数三元组 (a,b,c)(a,b,c)，使得 ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b 这三个数都是 22 的幂（22 的幂是指形如 2n2^n 的整数，其中 nn 为非负整数）。
第 4/8 步：剩余情形中的界与奇偶性
上一步下一步
通俗地说

中间的幂 2n2^n 给出 cc 的界，而两个较大的方程控制 a,b,ca,b,c 的奇偶模式。

3≤a<b≤c⟹c≤2n−1,a+b<2n,0<b−a<2n−13\le a<b\le c\quad\Longrightarrow\quad c\le2^{n-1},\quad a+b<2^n,\quad 0<b-a<2^{n-1}
详细分析

设 3≤a<b≤c3\le a<b\le c。由于 2n=ac−b≥(a−1)c2^n=ac-b\ge(a-1)c，有 c≤2n/(a−1)≤2n−1c\le2^n/(a-1)\le2^{n-1}。又因 a+b<2ca+b<2c，所以 a+b<2c≤2n+1/(a−1)≤2na+b<2c\le2^{n+1}/(a-1)\le2^n，并且 0<b−a<c≤2n−10<b-a<c\le2^{n-1}。这里 n≥3n\ge3，故 2n2^n 与 2p2^p 都为偶数。由 ac−b=2nac-b=2^n 和 bc−a=2pbc-a=2^p，若 a 为奇数则 b,c 都为奇数；若 a 为偶数则 b 为偶数。因此 a,b 奇偶性相同，b−ab-a 为偶数。将两式相加、相减得到 (c−1)(a+b)=2n+2p(c-1)(a+b)=2^n+2^p 与 (c+1)(b−a)=2p−2n(c+1)(b-a)=2^p-2^n。由于 b>ab>a，后一式说明 p>np>n。