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第2题

求所有正整数三元组 (a,b,c)(a,b,c)，使得 ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b 这三个数都是 22 的幂（22 的幂是指形如 2n2^n 的整数，其中 nn 为非负整数）。
第 5/8 步：决定性的 22-进消去
上一步下一步
通俗地说

差式中 22 的精确指数排除所有更大的倍数，并迫使 a+ba+b 恰好等于 2n−12^{n-1}。

4∣(c+1),v2(c−1)=1,a+b=2n−14\mid(c+1),\qquad v_2(c-1)=1,\qquad a+b=2^{n-1}
详细分析

等式 (c+1)(b−a)=2p−2n=2n(2p−n−1)(c+1)(b-a)=2^p-2^n=2^n(2^{p-n}-1) 右端的 22-进赋值恰为 nn。若 cc 为偶数，则 c+1c+1 为奇数，从而 2n∣(b−a)2^n\mid(b-a)，这与 0<b−a<2n−10<b-a<2^{n-1} 矛盾。因此 cc 为奇数。若 c≡1(mod4)c\equiv1\pmod4，则 v2(c+1)=1v_2(c+1)=1；由精确的 nn-进赋值得 2n−1∣(b−a)2^{n-1}\mid(b-a)，又与 b−a<2n−1b-a<2^{n-1} 矛盾。因此 c≡3(mod4)c\equiv3\pmod4，于是 4∣(c+1)4\mid(c+1) 且 v2(c−1)=1v_2(c-1)=1。现在 (c−1)(a+b)=2n+2p=2n(1+2p−n)(c-1)(a+b)=2^n+2^p=2^n(1+2^{p-n}) 的赋值恰为 nn，所以 v2(a+b)=n−1v_2(a+b)=n-1。又 a+b<2na+b<2^n，故正整数 a+ba+b 必须等于 2n−12^{n-1}。最后，若 a≥5a\ge5，则 a+b<2n+1/(a−1)≤2n−1a+b<2^{n+1}/(a-1)\le2^{n-1}，且由 a+b<2ca+b<2c 得严格不等号，这与 a+b=2n−1a+b=2^{n-1} 矛盾。因此 a≤4a\le4；结合 a≥3a\ge3，只剩 a=3,4a=3,4。