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第2题

求所有正整数三元组 (a,b,c)(a,b,c)，使得 ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b 这三个数都是 22 的幂（22 的幂是指形如 2n2^n 的整数，其中 nn 为非负整数）。
第 7/8 步：a=4a=4 的情形不可能
上一步下一步
通俗地说

排序不等式把一个 22 的幂严格夹在 22 与 33 之间。

a=4⟹2n−3≤3 and 2n−3>2a=4\quad\Longrightarrow\quad 2^{n-3}\le3\ \text{and}\ 2^{n-3}>2
详细分析

当 a=4a=4 时，a+b=2n−1a+b=2^{n-1} 给出 b=2n−1−4b=2^{n-1}-4。方程 4c−b=2n4c-b=2^n 于是给出 c=3⋅2n−3−1c=3\cdot2^{n-3}-1。由 b≤cb\le c 得 2n−1−4≤3⋅2n−3−12^{n-1}-4\le3\cdot2^{n-3}-1，从而 2n−3≤32^{n-3}\le3。又因 a<ba<b，有 4<2n−1−44<2^{n-1}-4，所以 2n−3>22^{n-3}>2。22 与 33 之间没有 22 的幂，故 a=4a=4 不产生解。