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第3题

设 ABCABC 是一个满足 AB>ACAB>AC 的锐角三角形。设 Γ\Gamma 为其外接圆，HH 为其垂心，FF 为从 AA 出发的高的垂足。设 MM 为 BCBC 的中点。设 QQ 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 的点，设 KK 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ 的点。假设 AA、BB、CC、KK、QQ 这些点两两不同，并按此顺序位于 Γ\Gamma 上。证明三角形 KQHKQH 与三角形 FKMFKM 的外接圆彼此相切。
第 1/4 步：建立以 HH 为中心的反演
上一步下一步
通俗地说

把外接圆与九点圆互换的、以垂心为中心的负幂反演，是垂心构型中的经典工具。

ι: A↦F, Q↦M, K↦L\iota:\ A\mapsto F,\ Q\mapsto M,\ K\mapsto L
详细分析

设 LL 为九点圆上满足 ∠HML=90∘\angle HML=90^\circ 的点。以 HH 为中心、把 Γ\Gamma 与九点圆互换的负幂反演 ι\iota 将 A↦FA\mapsto F（二者都是相应的过 HH 的圆上的垂足相关点），Q↦MQ\mapsto M（利用 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 以及九点圆上的 ∠HMA\angle HMA 型对应），并将 K↦LK\mapsto L。由于反演保持过中心的圆之间的相切关系，而 (KQH)(KQH) 经过反演中心 HH，证明 (KQH)(KQH) 与 (FKM)(FKM) 相切等价于证明直线 MLML（经过中心的圆 (KQH)(KQH) 的反像是一条直线）与 (FKM)(FKM) 的反像，即圆 (AQL)(AQL) 相切。