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第3题

设 ABCABC 是一个满足 AB>ACAB>AC 的锐角三角形。设 Γ\Gamma 为其外接圆，HH 为其垂心，FF 为从 AA 出发的高的垂足。设 MM 为 BCBC 的中点。设 QQ 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 的点，设 KK 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ 的点。假设 AA、BB、CC、KK、QQ 这些点两两不同，并按此顺序位于 Γ\Gamma 上。证明三角形 KQHKQH 与三角形 FKMFKM 的外接圆彼此相切。
第 2/4 步：断言：LM∥AQLM\parallel AQ
上一步下一步
通俗地说

两条线段都垂直于同一直线 HQMHQM，所以它们彼此平行。

LM∥AQLM\parallel AQ
详细分析

由构造 ∠HML=90∘\angle HML=90^\circ，所以 LM⊥HMLM\perp HM。又由 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 有 AQ⊥HQAQ\perp HQ。由于点 HH、点 QQ、点 MM 的构型使直线 HQHQ 与直线 HMHM 实际上是经过点 HH、点 QQ 并延伸到点 MM 的同一直线 HQMHQM（在此构型中，点 QQ 与点 MM 都位于经过点 HH 的相应弦的垂线上），所以 LMLM 与 AQAQ 都垂直于这条直线，LM∥AQLM\parallel AQ。