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第3题

设 ABCABC 是一个满足 AB>ACAB>AC 的锐角三角形。设 Γ\Gamma 为其外接圆，HH 为其垂心，FF 为从 AA 出发的高的垂足。设 MM 为 BCBC 的中点。设 QQ 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ 的点，设 KK 为 Γ\Gamma 上满足 ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ 的点。假设 AA、BB、CC、KK、QQ 这些点两两不同，并按此顺序位于 Γ\Gamma 上。证明三角形 KQHKQH 与三角形 FKMFKM 的外接圆彼此相切。
第 3/4 步：断言：LA=LQLA=LQ
上一步下一步
通俗地说

由 HQHQ 与 AHAH 的中点形成的矩形迫使外心 OO 位于直线 LTLT 上，而该直线正是 AQAQ 的垂直平分线。

LA=LQLA=LQ
详细分析

令 NN、TT 分别为 HQHQ、AHAH 的中点，令 OO 为 ABCABC 的外心。由于 TT 是 AHAH 的中点而 MM 是 BCBC 的中点，MTMT 是九点圆的一条直径（九点圆的经典直径），所以四边形 LTNMLTNM 是矩形，直线 LTLT 经过原外接圆的圆心 OO。由于 LT⊥AQLT\perp AQ（因为 LT∥LT\parallel 于前面得到的垂直方向）且 OA=OQOA=OQ（二者都是外接半径），OO 位于 AQAQ 的垂直平分线上；又因为 L,T,OL,T,O 共线且 LT⊥AQLT\perp AQ，点 LL 也位于该垂直平分线上。因此 LA=LQLA=LQ。