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第4题

三角形 ABCABC 的外接圆为 Ω\Omega，外心为 OO。以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 与线段 BCBC 交于两点 DD 和 EE，使得 BB、DD、EE、CC 互不相同，且按此顺序位于直线 BCBC 上。设 FF 和 GG 为 Γ\Gamma 与 Ω\Omega 的交点，使得 AA、FF、BB、CC、GG 按此顺序位于 Ω\Omega 上。设 KK 为三角形 BDFBDF 的外接圆与线段 ABAB 的第二个交点，设 LL 为三角形 CGECGE 的外接圆与线段 ACAC 的第二个交点。假设直线 FKFK 与 GLGL 不同且交于点 XX。证明 XX 在直线 AOAO 上。
第 1/5 步：归结为一个等腰三角形命题
上一步下一步
通俗地说

直线 AOAO 恰好是 Ω\Omega 的弦 FGFG 的垂直平分线。

AO⊥FG ⇒ (X∈AO  ⟺  XF=XG)AO\perp FG \ \Rightarrow\ (X\in AO \iff XF=XG)
详细分析

由于 F,G∈ΩF,G\in\Omega 且 AF=AGAF=AG（两者都是以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 的半径），所以 AA 位于弦 FGFG 的垂直平分线上，OO（作为 Ω\Omega 的外心）也是如此。因此直线 AOAO 恰好是 FGFG 的垂直平分线，点 XX 在 AOAO 上当且仅当 XF=XGXF=XG。剩下只需证明 XF=XGXF=XG，即 ∠KFG=∠LGF\angle KFG=\angle LGF，其中 X=FK∩GLX=FK\cap GL。