第4题

三角形

ABC

的外接圆为

\Omega

，外心为

O

。以

A

为圆心的圆

\Gamma

与线段

BC

交于两点

D

和

E

，使得

B

、

D

、

E

、

C

互不相同，且按此顺序位于直线

BC

上。设

F

和

G

为

\Gamma

与

\Omega

的交点，使得

A

、

F

、

B

、

C

、

G

按此顺序位于

\Omega

上。设

K

为三角形

BDF

的外接圆与线段

AB

的第二个交点，设

L

为三角形

CGE

的外接圆与线段

AC

的第二个交点。假设直线

FK

与

GL

不同且交于点

X

。证明

X

在直线

AO

上。

第 2/5 步：引入与直线

FG

的第二个交点

通俗地说

直线 $FG$ 上的两个辅助点让我们可以通过一条公共直线来比较两个圆 $(BDF)$ 和 $(CGE)$ 。

F_2=FG\cap(BDF),\quad G_2=FG\cap(CGE)

详细分析

设直线 $FG$ 与圆 $(BDF)$ 的另一个交点为 $F_2$ ，与圆 $(CGE)$ 的另一个交点为 $G_2$ 。我们将把内接于 $(BDF)$ 的四边形 $FBDF_2$ 与内接于 $(CGE)$ 的四边形 $G_2ECG$ 联系起来。