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第4题

三角形 ABCABC 的外接圆为 Ω\Omega，外心为 OO。以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 与线段 BCBC 交于两点 DD 和 EE，使得 BB、DD、EE、CC 互不相同，且按此顺序位于直线 BCBC 上。设 FF 和 GG 为 Γ\Gamma 与 Ω\Omega 的交点，使得 AA、FF、BB、CC、GG 按此顺序位于 Ω\Omega 上。设 KK 为三角形 BDFBDF 的外接圆与线段 ABAB 的第二个交点，设 LL 为三角形 CGECGE 的外接圆与线段 ACAC 的第二个交点。假设直线 FKFK 与 GLGL 不同且交于点 XX。证明 XX 在直线 AOAO 上。
第 3/5 步：由有向角追踪得到的四组平行关系
上一步下一步
通俗地说

通过直线对 (FG,BC)(FG,BC) 反复利用内接角的“反平行”性质，产生了四组独立的平行关系。

FD∥G2C,F2B∥GE,FB∥G2E,F2D∥GCFD\parallel G_2C,\quad F_2B\parallel GE,\quad FB\parallel G_2E,\quad F_2D\parallel GC
详细分析

利用圆内接四边形 FBDF2⊂(BDF)FBDF_2\subset(BDF) 与 G2ECG⊂(CGE)G_2ECG\subset(CGE) 中模 180∘180^\circ 的有向角，以及 B,D,E,CB,D,E,C 在直线 BCBC 上共线：由 ∠(FD,FG)=∠(BC,GE)=∠(G2C,FG)\angle(FD,FG)=\angle(BC,GE)=\angle(G_2C,FG) 得 FD∥G2CFD\parallel G_2C；由 ∠(F2B,FG)=∠(BC,FD)=∠(GE,FG)\angle(F_2B,FG)=\angle(BC,FD)=\angle(GE,FG) 得 F2B∥GEF_2B\parallel GE；由 ∠(FB,FG)=∠(BC,GC)=∠(G2E,FG)\angle(FB,FG)=\angle(BC,GC)=\angle(G_2E,FG) 得 FB∥G2EFB\parallel G_2E；由 ∠(F2D,FG)=∠(BC,FB)=∠(GC,FG)\angle(F_2D,FG)=\angle(BC,FB)=\angle(GC,FG) 得 F2D∥GCF_2D\parallel GC。