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第4题

三角形 ABCABC 的外接圆为 Ω\Omega，外心为 OO。以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 与线段 BCBC 交于两点 DD 和 EE，使得 BB、DD、EE、CC 互不相同，且按此顺序位于直线 BCBC 上。设 FF 和 GG 为 Γ\Gamma 与 Ω\Omega 的交点，使得 AA、FF、BB、CC、GG 按此顺序位于 Ω\Omega 上。设 KK 为三角形 BDFBDF 的外接圆与线段 ABAB 的第二个交点，设 LL 为三角形 CGECGE 的外接圆与线段 ACAC 的第二个交点。假设直线 FKFK 与 GLGL 不同且交于点 XX。证明 XX 在直线 AOAO 上。
第 4/5 步：两个四边形是位似的
上一步下一步
通俗地说

两个四边形对应边的四组平行迫使存在一个以其所在直线的交点为中心的位似变换。

FBDF2 and G2ECG are homothetic through FG∩BCFBDF_2 \ \text{and}\ G_2ECG \ \text{are homothetic through } FG\cap BC
详细分析

上一步的四组平行关系表明，四边形 FBDF2FBDF_2 与四边形 G2ECGG_2ECG 的四组对应边全部平行（一组是 FD∥G2CFD\parallel G_2C、F2D∥GCF_2D\parallel GC，另一组是 FB∥G2EFB\parallel G_2E、F2B∥GEF_2B\parallel GE），因此它们是位似的，位似中心为直线 FGFG 与 BCBC 的交点。