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第4题

三角形 ABCABC 的外接圆为 Ω\Omega，外心为 OO。以 AA 为圆心的圆 Γ\Gamma 与线段 BCBC 交于两点 DD 和 EE，使得 BB、DD、EE、CC 互不相同，且按此顺序位于直线 BCBC 上。设 FF 和 GG 为 Γ\Gamma 与 Ω\Omega 的交点，使得 AA、FF、BB、CC、GG 按此顺序位于 Ω\Omega 上。设 KK 为三角形 BDFBDF 的外接圆与线段 ABAB 的第二个交点，设 LL 为三角形 CGECGE 的外接圆与线段 ACAC 的第二个交点。假设直线 FKFK 与 GLGL 不同且交于点 XX。证明 XX 在直线 AOAO 上。
第 5/5 步：完成角度追踪
上一步下一步
通俗地说

位似变换借助等腰三角形 AFGAFG 的相等底角 ∠ABF=∠GCA\angle ABF=\angle GCA，把 FF 处的角变为 GG 处相应的角。

∠GFK=∠LGF\angle GFK=\angle LGF
详细分析

通过位似变换和圆内接四边形追踪有向角：∠GFK=∠F2BK=∠F2BF−∠ABF=∠F2DF−∠ABF=∠F2DF−∠GCA=∠GCG2−∠GCA=∠LCG2=∠LGF\angle GFK=\angle F_2BK=\angle F_2BF-\angle ABF=\angle F_2DF-\angle ABF=\angle F_2DF-\angle GCA=\angle GCG_2-\angle GCA=\angle LCG_2=\angle LGF，其中 ∠ABF=∠GCA\angle ABF=\angle GCA 是因为 AF=AGAF=AG 使 △AFG\triangle AFG 为等腰三角形，从而两个与底角相关的内接角 ∠ABF\angle ABF（对 AFAF）与 ∠GCA\angle GCA（对 AGAG）相等。这就得到 ∠GFK=∠LGF\angle GFK=\angle LGF，即 ∠KFG=∠LGF\angle KFG=\angle LGF，由第1步可知 XF=XGXF=XG，因此 XX 在直线 AOAO 上。