第5题

设

\mathbb{R}

为实数集。求所有满足方程

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

（对所有实数

x

和

y

成立）的函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

。

第 1/5 步：每次代入

y=1

都产生一个不动点

上一步下一步

通俗地说

令 $y=1$ 会使乘积项 $xy$ 直接坍缩为 $x$ ，从而揭示出整整一族不动点。

P(x,1):\ f(x+f(x+1))=x+f(x+1)

详细分析

设 $P(x,y)$ 表示断言 $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ 。取 $y=1$ ： $P(x,1)$ 给出 $f(x+f(x+1))+f(x)=x+f(x+1)+f(x)$ ，于是 $f\big(x+f(x+1)\big)=x+f(x+1)$ 。也就是说，对每个实数 $x$ ，数 $x+f(x+1)$ 都是 $f$ 的一个不动点。