第5题

设

\mathbb{R}

为实数集。求所有满足方程

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

（对所有实数

x

和

y

成立）的函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

。

第 2/5 步：情形

f(0)\ne0

上一步下一步

通俗地说

如果 $f(0)\ne0$ ， $f$ 的每个不动点最终都等于 $1$ ，而上一步得到的那族不动点也必须始终等于该值。

f(0)\ne0 \ \Rightarrow\ f(x)\equiv 2-x

详细分析

在函数方程中令 $x=0$ ，对所有 $y$ 得到 $f\big(f(y)\big)+f(0)=f(y)+yf(0)$ 。若 $y_0$ 是任意一个不动点（即 $f(y_0)=y_0$ ），代入 $y=y_0$ 得 $f(y_0)+f(0)=y_0+y_0f(0)$ ，即 $y_0+f(0)=y_0+y_0f(0)$ ，即 $f(0)=y_0f(0)$ 。由于 $f(0)\ne0$ ，这迫使 $y_0=1$ ： $f$ 的唯一不动点是 $1$ 。由上一步，对所有 $x$ 有 $x+f(x+1)=1$ ，即 $f(x+1)=1-x$ ，即对所有实数 $u$ 有 $f(u)=2-u$ 。直接验证可知 $f(x)=2-x$ 满足原方程。