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第5题

设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有满足方程 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)（对所有实数 xx 和 yy 成立）的函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}。
第 3/5 步：情形 f(0)=0f(0)=0：第二族不动点
上一步下一步
通俗地说

如果两个连续整数都是不动点，那么再往上一个整数也是；将这一点与两族已知的不动点结合起来，就能弥合差为 22 的间隙。

f(0)=0 ⇒ f(−1)=−1, f(1)=1, f(x+f(x−1))=x+f(x−1)f(0)=0 \ \Rightarrow\ f(-1)=-1,\ f(1)=1,\ f\big(x+f(x-1)\big)=x+f(x-1)
详细分析

现设 f(0)=0f(0)=0。在方程中令 y=0y=0 并把 xx 换成 x+1x+1，得到 f(x+1+f(x+1))+f(0)=x+1+f(x+1)f\big(x+1+f(x+1)\big)+f(0)=x+1+f(x+1)，于是（因为 f(0)=0f(0)=0）对每个 xx，x+1+f(x+1)x+1+f(x+1) 也是一个不动点。在第一步的结论（x+f(x+1)x+f(x+1) 是不动点）中令 x=−1x=-1，得到 −1+f(0)=−1-1+f(0)=-1 是不动点，即 f(−1)=−1f(-1)=-1。在原方程中令 x=1,y=−1x=1,y=-1 并利用 f(−1)=−1f(-1)=-1，得到 f(1)+f(−1)=1+f(0)−f(1)f(1)+f(-1)=1+f(0)-f(1)，即 f(1)−1=1−f(1)f(1)-1=1-f(1)，于是 f(1)=1f(1)=1。现在对每个 xx，y0=x+f(x+1)y_0=x+f(x+1) 与 y0+1=x+1+f(x+1)y_0+1=x+1+f(x+1) 都是不动点；在原方程中令 x=1,y=y0x=1,y=y_0 并用 f(1)=1f(1)=1 化简，表明只要 y0y_0 与 y0+1y_0+1 都是不动点，y0+2y_0+2 也是。因此对每个 xx，x+f(x+1)+2x+f(x+1)+2 是不动点；把 xx 换成 x−2x-2，这就变成：对每个 xx，x+f(x−1)x+f(x-1) 是不动点，即 f(x+f(x−1))=x+f(x−1)f\big(x+f(x-1)\big)=x+f(x-1)。