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第5题

设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有满足方程 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)（对所有实数 xx 和 yy 成立）的函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}。
第 4/5 步：情形 f(0)=0f(0)=0：ff 是奇函数
上一步下一步
通俗地说

刚刚找到的不动点几乎抵消了 y=−1y=-1 处方程的全部内容，恰好只留下 ff 的奇性。

P(x,−1): f(x+f(x−1))+f(−x)=x+f(x−1)−f(x) ⇒ f(−x)=−f(x)P(x,-1):\ f\big(x+f(x-1)\big)+f(-x)=x+f(x-1)-f(x)\ \Rightarrow\ f(-x)=-f(x)
详细分析

在原方程中令 y=−1y=-1，得到 f(x+f(x−1))+f(−x)=x+f(x−1)+(−1)f(x)f\big(x+f(x-1)\big)+f(-x)=x+f(x-1)+(-1)f(x)。由上一步 f(x+f(x−1))=x+f(x−1)f\big(x+f(x-1)\big)=x+f(x-1)，于是化简为 x+f(x−1)+f(−x)=x+f(x−1)−f(x)x+f(x-1)+f(-x)=x+f(x-1)-f(x)，即对所有实数 xx 有 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)：ff 是奇函数。