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第5题

设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有满足方程 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)（对所有实数 xx 和 yy 成立）的函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}。
第 5/5 步：情形 f(0)=0f(0)=0：利用 f(1)=1f(1)=1 与奇性完成证明
上一步下一步
通俗地说

把 (1,y)(1,y) 处的方程与其在 (−1,−y)(-1,-y) 处的“镜像”方程相加，会抵消未知项 f(1+f(y+1))f(1+f(y+1))，直接得到 f(y)=yf(y)=y。

P(1,y): f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+yP(−1,−y)+oddness ⇒ f(y)=yP(1,y):\ f\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=1+f(y+1)+y \qquad P(-1,-y)+\text{oddness}\ \Rightarrow\ f(y)=y
详细分析

在原方程中令 x=1x=1 并利用 f(1)=1f(1)=1，对每个 yy 得到 f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+yf\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=1+f(y+1)+y。再令 (x,y)↦(−1,−y)(x,y)\mapsto(-1,-y) 并利用 f(−1)=−1f(-1)=-1，得到 f(−1+f(−1−y))+f(y)=−1+f(−1−y)+yf\big(-1+f(-1-y)\big)+f(y)=-1+f(-1-y)+y。由于 ff 是奇函数，f(−1−y)=−f(y+1)f(-1-y)=-f(y+1)，再对外层的值应用一次奇性，得 f(−1−f(y+1))=−f(1+f(y+1))f\big(-1-f(y+1)\big)=-f\big(1+f(y+1)\big)；代入这些结果得到 −f(1+f(y+1))+f(y)=−1−f(y+1)+y-f\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=-1-f(y+1)+y。把它与前面写出的第一个方程相加，项 f(1+f(y+1))f\big(1+f(y+1)\big) 相消：2f(y)=2y2f(y)=2y，于是对每个实数 yy 有 f(y)=yf(y)=y。直接验证可知 f(x)=xf(x)=x 满足原方程。