MathLabs

第6题

整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots 满足以下条件：(i) 对所有 j≥1j\ge1 有 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) 对所有 1≤k<ℓ1\le k<\ell 有 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。证明存在两个正整数 bb 和 NN，使得对所有满足 n>m≥Nn>m\ge N 的整数 mm 和 nn，都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2。
第 1/6 步：映射 k↦k+akk\mapsto k+a_k 永不重复取值
上一步下一步
通俗地说

条件 (ii) 恰恰说明没有两个下标映射到同一个值。

f(k)=k+ak is injective on the positive integersf(k)=k+a_k\ \text{is injective on the positive integers}
详细分析

条件 (ii)，即当 k≠ℓk\ne\ell 时 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne\ell+a_\ell，恰好表明映射 f(k)=k+akf(k)=k+a_k 在正整数上是单射。由于 1≤ak≤20151\le a_k\le2015，我们有 f(k)∈{k+1,…,k+2015}f(k)\in\{k+1,\dots,k+2015\}：每个箭头 k↦f(k)k\mapsto f(k) 至多向前跳 20152015。