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第6题

整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots 满足以下条件：(i) 对所有 j≥1j\ge1 有 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) 对所有 1≤k<ℓ1\le k<\ell 有 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。证明存在两个正整数 bb 和 NN，使得对所有满足 n>m≥Nn>m\ge N 的整数 mm 和 nn，都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2。
第 3/6 步：选取 bb 与 NN
上一步下一步
通俗地说

一旦越过所有链的起点，区间上的和就只取决于每条链首次离开该区间的位置。

b:=#{chains},N:=max⁡(start-points of the chains)b:=\#\{\text{chains}\},\qquad N:=\max(\text{start-points of the chains})
详细分析

设 bb 为上面得到的链 c1,…,cbc_1,\dots,c_b 的数目，设 NN 为所有链中最大的起点，使得对任意 t≥Nt\ge N，每条链都已经包含一个 ≤N≤t\le N\le t 的元素。对于区间 (t1,t2](t_1,t_2] 与一条链 cc，下标 j∈c∩(t1,t2]j\in c\cap(t_1,t_2] 上值 aj=f(j)−ja_j=f(j)-j 之和沿该链裂项相消为 (min⁡{x>t2:x∈c}−t2)−(min⁡{x>t1:x∈c}−t1)\big(\min\{x>t_2:x\in c\}-t_2\big)-\big(\min\{x>t_1:x\in c\}-t_1\big)。