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第6题

整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots 满足以下条件：(i) 对所有 j≥1j\ge1 有 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) 对所有 1≤k<ℓ1\le k<\ell 有 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。证明存在两个正整数 bb 和 NN，使得对所有满足 n>m≥Nn>m\ge N 的整数 mm 和 nn，都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2。
第 5/6 步：在固定边界处界定越界和
上一步下一步
通俗地说

bb 条链在 tt 之后的下一个越界点必须是互不相同、不超过 20152015 的正整数，因此它们的和被夹在 bb 个最小可能值与 bb 个最大可能值之间。

1+2+⋯+b ≤ ∑chain c(min⁡{x>t:x∈c}−t) ≤ 2015+2014+⋯+(2015−b+1)1+2+\dots+b\ \le\ \sum_{\text{chain }c}\big(\min\{x>t:x\in c\}-t\big)\ \le\ 2015+2014+\dots+(2015-b+1)
详细分析

固定一个边界 tt（=m=m 或 nn），且 t≥Nt\ge N。对于 bb 条链中的每一条，min⁡{x>t:x∈c}−t\min\{x>t:x\in c\}-t 是一个不超过 20152015 的正整数（同一条链的相邻元素相差不超过 20152015），并且这 bb 个越界值在 bb 条链之间两两不同，因为给定的点 xx 只属于一条链。因此它们的和介于 bb 个可能的最小互异正值之和 1+2+⋯+b1+2+\cdots+b 与 bb 个不超过 20152015 的最大可能值之和 2015+2014+⋯+(2015−b+1)2015+2014+\cdots+(2015-b+1) 之间。