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第6题

整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots 满足以下条件：(i) 对所有 j≥1j\ge1 有 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) 对所有 1≤k<ℓ1\le k<\ell 有 k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。证明存在两个正整数 bb 和 NN，使得对所有满足 n>m≥Nn>m\ge N 的整数 mm 和 nn，都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2。
第 6/6 步：结合两个边界并对 bb 取最优
上一步下一步
通俗地说

在 nn 处与 mm 处这两个越界和之差由 (b−1)(2015−b)(b-1)(2015-b) 控制，而 AM-GM 将其上限定为 100721007^2。

∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤(b−1)(2015−b)≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le (b-1)(2015-b)\le 1007^2
详细分析

由上一步，t=nt=n 处的越界和与 t=mt=m 处的越界和都位于区间 [b(b+1)/2, b(4031−b)/2]\big[b(b+1)/2,\ b(4031-b)/2\big] 内，因此它们的差（由第4步等于 ∑j=m+1n(aj−b)\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)）的绝对值被该区间的宽度 (b−1)(2015−b)(b-1)(2015-b) 所界定。由 AM-GM，(b−1)(2015−b)≤((b−1)+(2015−b)2)2=10072(b-1)(2015-b)\le\left(\frac{(b-1)+(2015-b)}2\right)^2=1007^2，当 b=1008b=1008 时取等号。无论实际链数 b∈{1,…,2015}b\in\{1,\dots,2015\} 是多少，同样的不等式 (b−1)(2015−b)≤10072(b-1)(2015-b)\le1007^2 都成立，因此对所有 n>m≥Nn>m\ge N 都有 ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\le1007^2，正如所要求的那样。