第1题

对每个整数

a_0>1

，对

n\ge 0

定义数列

a_0,a_1,a_2,\ldots

为

a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases}

求所有

a_0

，使得存在数

A

满足对无穷多个

n

都有

a_n=A

。

第 1/5 步：确定性把问题化归为有界性

上一步下一步

通俗地说

下一项只由当前项决定，所以重复出现的值会一直重复下去。

a_{n+1}=\Phi(a_n)

详细分析

由于 $a_{n+1}$ 完全由固定函数 $\Phi$ （即 $\sqrt{a_n}$ 或 $a_n+3$ ）作用于 $a_n$ 单独决定，若曾有两项相等，设 $a_i=a_j$ （ $i<j$ ），则对一切 $k\ge 0$ 都有 $a_{i+k}=a_{j+k}$ ：数列从下标 $i$ 起恰好以周期 $j-i$ 周期出现，于是 $a_i$ 无穷多次出现。反之，若某个数无穷多次出现，其出现的两个下标给出 $a_i=a_j$ （ $i<j$ ），同理导致周期性，故数列只取有限多个值，即有界。因此存在无穷多次出现的 $A$ 当且仅当数列 $(a_n)$ 有界。