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国际数学奥林匹克 · 2017年

试题

  1. 第1题对每个整数 a0>1a_0>1，对 n≥0n\ge 0 定义数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots 为 an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} 求所有 a0a_0，使得存在数 AA 满足对无穷多个 nn 都有 an=Aa_n=A。解法: 1
  2. 第2题设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}，使得对一切实数 xx 和 yy 都有 f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).解法: 1
  3. 第3题一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？解法: 1
  4. 第4题设 RR、SS 是圆 Ω\Omega 上的两个不同点，且 RSRS 不是直径。设 ℓ\ell 是 Ω\Omega 在 RR 处的切线。取点 TT 使 SS 为线段 RTRT 的中点。在 Ω\Omega 的短弧 RSRS 上取点 JJ，使三角形 JSTJST 的外接圆 Γ\Gamma 与 ℓ\ell 交于两个不同的点。设 Γ\Gamma 与 ℓ\ell 的交点中较靠近 RR 的一个为 AA。直线 AJAJ 再次交 Ω\Omega 于 KK。证明直线 KTKT 是 Γ\Gamma 的切线。解法: 1
  5. 第5题给定整数 N≥2N \ge 2。有 N(N+1)N(N+1) 名身高互不相同的足球运动员站成一排。亚历克斯爵士想从这一排中去掉 N(N−1)N(N-1) 名运动员，使剩下的 2N2N 名运动员组成的新一排满足以下 NN 个条件：两个最高的运动员之间没有任何人，第三高与第四高的运动员之间没有任何人，…\ldots，两个最矮的运动员之间没有任何人。证明这总是可以做到的。解法: 1
  6. 第6题若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。解法: 1