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第1题

对每个整数 a0>1a_0>1，对 n≥0n\ge 0 定义数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots 为 an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} 求所有 a0a_0，使得存在数 AA 满足对无穷多个 nn 都有 an=Aa_n=A。
第 2/5 步：被3整除是一个不变量
上一步下一步
3∣an  ⟺  3∣a03\mid a_n \iff 3\mid a_0
详细分析

加上 33 不会改变模 33 的余数。若 ana_n 是完全平方数，记 an=k2a_n=k^2；由于 33 是素数，3∣k23\mid k^2 恰好当 3∣k3\mid k 时成立，所以开平方既不会产生也不会消去因子 33。因此对每个 nn，3∣an3\mid a_n 成立与否都和 a0a_0 的情形一致。