MathLabs

第1题

对每个整数 a0>1a_0>1，对 n≥0n\ge 0 定义数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots 为 an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} 求所有 a0a_0，使得存在数 AA 满足对无穷多个 nn 都有 an=Aa_n=A。
第 3/5 步：若 3∤a03\nmid a_0，则数列无界
上一步下一步
an≡2 (mod 3)  ⟹  an+1=an+3a_n\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\implies a_{n+1}=a_n+3
详细分析

完全平方数只能是 ≡0\equiv 0 或 1(mod3)1\pmod 3，不可能是 22。因此 ≡2(mod3)\equiv 2\pmod 3 的项不是平方数，此后始终有 an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3，数列无限增长。反之，若对每个 nn 都有 an≡1(mod3)a_n\equiv 1\pmod 3，就沿等差数列 an,an+3,an+6,…a_n,a_n+3,a_n+6,\ldots（遍历所有不小于 ana_n 且 ≡1(mod3)\equiv 1\pmod 3 的整数）直到遇到第一个平方数 K2K^2；取 KK 为满足 ≥⌈an⌉\ge\lceil\sqrt{a_n}\rceil 且 3∤K3\nmid K 的最小整数，则 K≤an+2K\le \sqrt{a_n}+2，当 an≥7a_n\ge 7 时下一项 KK 严格小于 ana_n。重复这一下降过程，数值最终必到达 4=224=2^2，其后继项为 2≡2(mod3)2\equiv 2\pmod 3。所以迟早出现 ≡2(mod3)\equiv 2\pmod 3 的项，数列无界。