由前面的不变量，每一项都是 333 的倍数。是 333 的倍数的完全平方数必定是 999 的倍数（仍因为 333 是素数）。所以当某项 an≥12a_n\ge 12an≥12 尚不是平方数时，沿 an,an+3,an+6,…a_n,a_n+3,a_n+6,\ldotsan,an+3,an+6,… 前进会遇到第一个“999 的倍数平方数”，即取满足 3t≥an3t\ge\sqrt{a_n}3t≥an 的最小 ttt 得到 9t29t^29t2；此时下一项为 3t≤an+3<an3t\le\sqrt{a_n}+3<a_n3t≤an+3<an。不断重复这一下降过程，数列迟早会降到 121212 以下，落在 3,6,93,6,93,6,9 之一，并从此永远循环：3→6→9→3→⋯3\to 6\to 9\to 3\to\cdots3→6→9→3→⋯。因此整个数列有界。