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2017年
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第1题
第1题
对每个整数
a
0
>
1
a_0>1
a
0
>
1
，对
n
≥
0
n\ge 0
n
≥
0
定义数列
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
a_0,a_1,a_2,\ldots
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
为
a
n
+
1
=
{
a
n
if
a
n
is an integer
,
a
n
+
3
otherwise
.
a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases}
a
n
+
1
=
{
a
n
a
n
+
3
if
a
n
is an integer
,
otherwise
.
求所有
a
0
a_0
a
0
，使得存在数
A
A
A
满足对无穷多个
n
n
n
都有
a
n
=
A
a_n=A
a
n
=
A
。
第 5/5 步：结论
上一步
下一步
a
0
=
3
k
,
k
∈
Z
>
0
a_0=3k,\ k\in\mathbb{Z}_{>0}
a
0
=
3
k
,
k
∈
Z
>
0
详细分析
结合前两步与第1步的等价关系：存在无穷多次出现的数
A
A
A
当且仅当
a
0
a_0
a
0
是
3
3
3
的正倍数，此时可取
A
=
3
A=3
A
=
3
、
A
=
6
A=6
A
=
6
或
A
=
9
A=9
A
=
9
。
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