第2题

设

\mathbb{R}

为实数集。求所有函数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

，使得对一切实数

x

和

y

都有

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

第 2/6 步：代入

y=0

上一步下一步

k:=f(0),\qquad f(kf(x))+f(x)=k

详细分析

记 $k=f(0)$ 。代入 $y=0$ 得 $f(f(x)f(0))+f(x)=f(0)$ ，即对一切 $x$ 有 $f(kf(x))+f(x)=k$ ——称为关系式 $(\ast)$ 。若 $k=0$ ，关系式 $(\ast)$ 化为 $f(0)+f(x)=0$ ，故对一切 $x$ 有 $f(x)=-f(0)=0$ ，即解 $f\equiv 0$ 。以下设 $k\ne 0$ （由第1步的符号对称性，可设 $k>0$ ）。