第2题

设

\mathbb{R}

为实数集。求所有函数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

，使得对一切实数

x

和

y

都有

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

第 3/6 步：确定

f

的唯一零点

上一步下一步

f(z)=0 \iff z=1,\qquad k=f(0)=1

详细分析

在原方程中代入 $x=y=0$ 得 $f(k^2)+k=k$ ，即 $f(k^2)=0$ ；由 $k\ne 0$ 知 $f$ 存在零点。设某个 $z\ne 1$ 满足 $f(z)=0$ 。由于 $z\ne 1$ ，数 $x=z$ 与 $y=z/(z-1)$ 满足 $x+y=xy$ （两者都等于 $z^2/(z-1)$ ），故 $f(x+y)=f(xy)$ ，原方程迫使 $f(f(x)f(y))=0$ ；但 $f(x)=f(z)=0$ ，于是 $f(x)f(y)=0$ ，从而 $f(0)=0$ ，与 $k\ne 0$ 矛盾。所以 $z=1$ 是 $f$ 的唯一零点。将此应用于 $f(k^2)=0$ 得 $k^2=1$ ，又 $k>0$ ，故 $k=1$ ；特别地 $f(0)=1$ ， $f(1)=0$ 。