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第2题

设 R\mathbb{R} 为实数集。求所有函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}，使得对一切实数 xx 和 yy 都有 f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).
第 4/6 步：两个推论：f∘ff\circ f 与平移 11
上一步下一步
f(f(x))=1−f(x),f(x+1)=f(x)−1f(f(x))=1-f(x),\qquad f(x+1)=f(x)-1
详细分析

当 k=1k=1 时，关系式 (∗)(\ast) 变为对一切 xx 有 f(f(x))=1−f(x)f(f(x))=1-f(x)。另外，在原方程中代入 y=1y=1 并利用 f(1)=0f(1)=0 得 f(f(x)f(1))+f(x+1)=f(x)f(f(x)f(1))+f(x+1)=f(x)，即 f(0)+f(x+1)=f(x)f(0)+f(x+1)=f(x)，故 f(x+1)=f(x)−1f(x+1)=f(x)-1。由归纳法，对一切整数 nn（正负皆可）都有 f(x+n)=f(x)−nf(x+n)=f(x)-n。