第2题

设

\mathbb{R}

为实数集。求所有函数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

，使得对一切实数

x

和

y

都有

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

第 5/6 步：

f

是单射

上一步下一步

f(a)=f(b)\implies a=b

详细分析

设 $f(a)=f(b)$ 。将 $a$ 、 $b$ 同时平移同一个较大的整数 $m$ 仍保持 $f(a)=f(b)$ （因为 $f(a+m)=f(a)-m=f(b)-m=f(b+m)$ ），而判别式 $(a+m+1)^2-4(b+m)$ 是关于 $m$ 的二次式且首项系数为正，故当 $m$ 足够大时非负；因此可从一开始就假设存在实数 $x,y$ 满足 $x+y=a+1$ ， $xy=b$ 。此时原方程给出 $f(f(x)f(y))=f(xy)-f(x+y)=f(b)-f(a+1)=f(b)-(f(a)-1)=1$ （用了 $f(a)=f(b)$ ）。对 $u=f(x)f(y)$ 应用平移恒等式： $f(u+1)=f(u)-1=1-1=0$ ，由第3步的唯一零点得 $u+1=1$ ，即 $f(x)f(y)=0$ ；再次利用唯一零点得 $x=1$ 或 $y=1$ 。若 $x=1$ ，则 $y=b$ 且 $x+y=1+b=a+1$ 给出 $b=a$ ；若 $y=1$ ，同理 $a=b$ 。无论哪种情况都有 $a=b$ ，从而证明了单射性。