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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 1/9 步：兔子可以制造初始距离
上一步下一步
P1=A0,d1=∣A1B1∣≥1P_1=A_0,\qquad d_1=|A_1B_1|\ge 1
详细分析

第一次报告取 P1=A0P_1=A_0，无论兔子沿哪个方向移动一个单位，这个报告都合法。因此猎人对该报告作出的回应 B1B_1 由她的策略固定决定，与兔子的方向无关。兔子可以预先把单位移动 A1A_1 选在与这个既定 B1B_1 相反的方向，于是 d1=∣A1B1∣≥1d_1=|A_1B_1|\ge1。这是在报告出现前作出的合法第一轮选择。